2  図形と方程式

この章では『図形と方程式』のポイントを紹介します。 図形と方程式はなかなかイメージがしづらい問題が多い一方、問題を解くための定石が多く用意されている分野になります。 そのため、しっかりとパターン学習を続ければ得点源にできますし、一見未知に見える問題でも関連性を見出すことで解くことができるでしょう。 ただし、ただパターンとして解くのではなく、しっかりと厳密性（特に「逆に…」）まで意識してあげることも重要です。

Point 2.1 (線分の内分点の座標) 数直線上の2点 \(A(a)\)、\(B(b)\) を結ぶ線分上に点 \(P(x)\) があり、\(AP:PB=m:n\) ならば、

\[ x=\frac{na+mb}{m+n} \]

と表される。

数直線上にA(a)、P(x)、B(b)がこの順に並び、AP対PBがm対nの線分

Point 2.2 (内角の二等分線定理) 三角形 \(ABC\) の辺 \(BC\) 上の点 \(D\) に対し、\(AD\) が \(\angle BAC\) の内角の二等分線、すなわち \(\angle BAD=\angle DAC\) ならば、

\[ BD:DC=AB:AC \]

が成り立つ。

三角形ABCの頂点Aから、辺BC上の点Dへ内角の二等分線ADを引いた図

Point 2.3 (点と直線の距離の公式) 直線 \(ax+by+c=0\) と点 \((x_0,y_0)\) の距離は

\[ d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

と表される。

点Pから直線ℓに垂線を下ろし、その長さを距離dとした図

Point 2.4 (領域の問題の解き方) まず図をかく。そして、以下のどちらかを使う。

  1. 順像法：変数を1つ固定し、他の変数に応じて、図形がどう変化するか考える。
  2. 逆像法：各点 \((x,y)\) が条件を満たす（つまり、領域に含まれる）か調べる。
ヒントコツ

パラメータについての方程式が解けないときは順像法を、1次や2次で解けそうなときは逆像法を使うと良い。迷ったら両方試し、解きやすそうな方を選ぶ。

Point 2.5 (2円の位置関係) 半径を \(r>r'>0\)、中心間距離を \(d\) とする。

  1. \(d>r+r'\)：共有点を持たない
  2. \(d=r+r'\)：外部で接する
  3. \(r-r'<d<r+r'\)：二つの共有点を持つ
  4. \(d=r-r'\)：内部で接する
  5. \(d<r-r'\)：大きい円の内部に小さい円が存在する
2円の位置関係。共有点を持たない、外部で接する、二つの共有点を持つ、内部で接する、大きい円の内部に小さい円が存在する、の5種類